왜 수학을 공부해야 할까?
수학을 잘하면 논리적인 사고를 할 수 있게 되고, 인과관계를 잘 이해할 수 있게 됩니다. 다시 말해 수학은 모든 생각의 엔진이자 인과관계를 이해해 깨달음에 이르도록 하는 학문입니다. 수학을 잘하면 일정한 가정에 근거해 논리적인 결론을 낸 것과 그렇지 않은 것을 분별할 수 있게 되고 이치에 맞지 않는 거짓에 현혹되지 않을 수 있습니다. 같은 사안을 두고 정반대의 주장이 펼쳐질 때도 그 옳고 그름을 판단하려면 당연히 논리적인 사고를 할 수 있어야 합니다. 그래서 수학을 잘 하게 되면 살면서 어떤 일을 만나든 일희일비하지 않고 마음의 평안을 얻고 궁극적으로는 행복한 삶을 살 수 있습니다.
--- p.17

학교에서도 가르쳐주지 않는 곱셈법
학교에서 교과서를 가지고 하는 여러 가지 연산 방법은 표준적인 방법이 대부분입니다. 교과서에서는 지면상 제약이나 수업 중 다루어야 할 내용의 분량으로 인해 모든 연산 방법을 다 다루기가 쉽지 않습니다. 그래서 아주 제한된 연산 알고리즘을 이용한 계산법을 다루는 것이 일반적입니다. 그리고 문제 해결 연구의 대가인 버클리대학의 앨런 쇤펠트Alan H. Schoenfeld 교수가 지적한 대로, 대부분의 학생들은 수학 문제의 답은 오직 하나이고 해결하는 방법도 제한적이라는 생각을 가지고 있습니다. 다양한 문제를 유연하게 생각하면서 해결하기 위해서는, 학생들로 하여금 수학에 대해 가지고 있는 경직된 생각을 바꾸도록 할 필요가 있습니다. 다양한 방법으로 계산해 보도록 하면, 학생들의 창의성 향상은 물론 연산의 의미를 보다 깊게 이해하도록 하고, 간단한 계산 방법에도 “아, 이런 방법도 있구나!” 하며 호기심을 가지도록 할 수 있을 것입니다. 교과서에서 제시하고 있는 방법 이외에 학생들에게 호기심을 줄 수 있는 곱셈 등의 연산 방법은 다양합니다.
--- pp.35~36

고정관념을 깨면 해법이 보인다
“어떤 여행자가 자신이 있는 곳에서 남쪽으로 1마일을 간 후 왼쪽으로 90° 돌아 동쪽으로 1마일 갔다. 그리고 다시 왼쪽으로 90° 돌아 북쪽으로 1마일 갔더니 원래 출발했던 지점에 도착했다. 그곳에서 곰을 만났다면, 그 곰은 무슨 색인가?”
이 문제는 언뜻 보면 수학 문제 같아 보이지 않습니다. 왜 포여는 이 문제를 제시했을까요? 아마도 문제를 해결할 때, 우리가 평면에서만 생각하는 고정된 사고에 매몰되면 안 된다는 것을 말하고 싶어서일 것입니다. 이 문제는 평면에서 생각하면 풀 수가 없기 때문입니다.
--- p.99

초등학생도 이해하는 분수 셈의 원리
수학을 배운다는 것은, 단순히 주어진 문제를 잘 푸는 훈련에 집중하기보다는 왜 결과가 그렇게 나오는지를 이해할 수 있도록 하는 과정이어야 합니다. 더 나아가 결과가 어떻게 나왔는지 자신이 이해한 내용을 설명할 수 있도록 하는 것이 좋습니다. 다른 사람에게 자신이 알고 있는 것을 자신의 말로 잘 설명하기 위해서는 그만큼 그 개념을 잘 이해하고 있어야 하기 때문입니다. 더 나아가 그 내용을 잘 이해하지 못한 친구들이 이해할 수 있도록 가르친다면 더 좋을 것입니다. 수학에서는 잘 푸는 것보다 잘 설명하는 것이 더 이해를 잘한 것이고, 잘 설명하는 것보다 잘 가르치는 것이 더 이해를 잘한 것이기 때문입니다.
--- pp.150~151

인공지능에 활용되는 수학의 원리
“인공지능이 … 을 학습한다”는 것은, 바로 이런 식으로 수많은 데이터들의 행렬식을 계산해 오차가 최소가 되는 최적의 값이 나오도록 성분을 조정해 가는 과정을 뜻합니다. 이런 기술을 지도학습Supervised Learning이라고 합니다. 예를 들어 ‘이런 것이 고양이다’라고 가르쳐 주기 위해, 인간이 다양한 고양이를 보면서 그 공통점을 통해 고양이를 인식하는 것처럼 수천만 개 이상의 고양이 이미지를 통해 고양이를 인식할 수 있도록 학습을 시키는 것입니다. 이런 학습 과정까지도 기계가 자동으로 수행하도록 하는 딥러닝에서는 데이터들 사이의 연결의 강도를 조정하거나 변경할 때 선형대수학과 편미분을 활용합니다.
--- pp.227~228

수학과 인문학의 아름다운 만남
모든 현상을 수학의 눈으로 바라본다면, 더 깊은 의미를 이해할 수 있습니다. 수학의 힘은 눈으로 보이는 것뿐 아니라 눈에 보이지 않는 것까지도 논리적인 사고를 통해 추론하는 데 있기 때문입니다. 당장 눈으로만 봐서는 그렇게 보이지 않는 일이라도 논리적인 추론으로 눈에 보이지 않는 새로운 사실을 이끌어낼 수도 있습니다. 그래서 수학 공부를 통해 주어진 조건에 맞는 답을 찾는 연습을 꾸준히 해서 추론 능력을 기르게 되면, 세상이 돌아가는 현상을 이해하고 나아가 그 현상 이면의 숨겨진 이치를 깨닫는 밑거름이 됩니다. 그렇게 되면 조급해하거나 일희일비하지 않고 마음의 평안을 얻고 행복한 삶을 살아갈 수 있을 테니, 수학이 우리를 행복한 삶으로 이끌어주는 셈입니다.